¿Se puede vivir con un millón de dólares?

SUMARIO
He visto estos días numerosos blogs y foros que intentan resolver esta pregunta, vamos a intentarlo también nosotros, a ver qué tal...

La mayoría -si no todas- las soluciones que he visto, se centran en el argumento de que el componente no gastar demasiado es la clave para resolver el problema e intentan controlar ese no gastar demasiado mediante mejoras en el rendimiento de la cartera. Así intentan desarrollar políticas de gasto que son función de los ingresos previstos para la cartera, ingresos que a su vez son el resultado de otras políticas de inversión más o menos complejas.
Demasiadas variables. Alguien que pretende vivir de una cantidad fija -un millón de dólares-, lo que quiere es gastar una cantidad fija anual blindada contra la inflación y saber además cual es esa cantidad para un cierto nivel de confianza.
Aquí en Las Recetas del Trader -que es nuestro blog, el suyo y el mío-, vamos a intentar también una aproximación al problema, pero vamos a subir un poco el listón intentando relacionar analíticamente las variables que intervienen en el asunto. Me he dado perfecta cuenta, por los correos que recibo, de que los lectores de este blog tienen un nivel claramente 'por encima de la media' y yo -en lo que alcance- voy a corresponderles trabajándome las entradas que haga -por lo menos ésta-.
La ruina del jubilado
Tenemos pues una persona que se quiere jubilar dejando de trabajar. Dispone de una cierta cantidad de dinero, y quiere saber cuánto se podrá gastar anualmente para que esa cantidad le dure hasta que se muera.
Con este planteamiento -si lo resolvemos- hemos resuelto el problema del millón de dólares o, el más cercano problema de si se puede vivir con el Gordo de la Lotería de Navidad, vamos a ver qué pasa.
Restricciones y variables del modelo utilizado
En general este tipo de problemas son irresolubles analíticamente. En una de las conferencias que suelo dar: Teoría de La Ruina se demuestra que, en la mayoría de los casos, las ecuaciones diferenciales asociadas con el cálculo del riesgo de ruina no sólo no se pueden resolver, sino que, curiosamente, no tienen solución única. Ésto conduce forzosamente a la utilización de métodos de Montecarlo. Con el modelo que hemos planteado para la ruina del jubilado nos enfrentamos a un caso particular de la teoría que sí podremos resolver por métodos algebraicos.
Nuestro modelo para la ruina del jubilado, supone el uso de una cartera estática -que puede ser un Bono, un conjunto de acciones seleccionadas o cosas similares-. Es importante notar que esta estaticidad de la cartera no implica de ninguna manera que los retornos de la inversión sean fijos. Evidentemente invertir en una cartera con Telefónica, Repsol y Banco Santander tiene muy poco de retorno fijo, y sin embargo es una inversión aceptable en el modelo que planteamos. Lo esencial de este concepto estático es el hecho de que el jubilado no va a hacer apuestas sobre sus inversiones añadiendo incertidumbre a la situación.
La segunda asunción de nuestro modelo es, como ya hemos apuntado, que el jubilado planea tomar todos los años una cantidad fija modificada por la inflación, de modo que va a querer mantener un nivel de vida similar durante toda su jubilación.
Creemos que esta manera de enfrentar el asunto no sólo simplifica la cuestión -como veremos-, sino que es una aproximación mucho más sensata al problema real.
Los parámetros del modelo
Según lo anterior, las variables del experimento son seis:

* El capital inicial disponible c
* El tiempo restante de vida del jubilado j
* Un cierto porcentaje p, que representa el retorno de la inversión
* Otro porcentaje v que mide la volatilidad de estos retornos
* Aún otro porcentaje f que mide la inflación
* Y finalmente g que es la cantidad en euros que el jubilado pretende gastar anualmente y que debe actualizarse con la inflación

Con ellos deberemos obtener la probabilidad de que el dinero dure hasta que el jubilado muera, pero podemos reducirlos a cuatro como vamos a ver a continuación.
Nada impide que relacionemos la cantidad g que se retira anualmente con el capital inicial c obteniendo así un nuevo parámetro S = g/c que tiene en cuenta los dos anteriores.
Para calibrar el tiempo restante de vida del jubilado, podríamos ir al Instituto Nacional de Estadística y utilizar una de sus tablas para obtener una función que nos indicara la esperanza de vida para cada edad concreta del jubilado -de hecho lo haremos así en otros problemas del estilo que espero presentar en este blog-, pero esta aproximación conduce normalmente a una ecuación cuártica que tendríamos que integrar entre límites y añadir esta integral a la solución del problema. Este método complica demasiado el asunto y no necesitamos tanta precisión, por lo que en este caso haremos una aproximación a la vida restante utilizando la serie exponencial en lugar de una serie cuártica. De este modo sólo necesitaremos como parámetro la vida media que le resta al inversor. Por ejemplo, si suponemos un jubilado de 65 años y una vida media de 87, estamos diciendo que hay un 50% de probabilidades de que el jubilado viva 87 - 65 = 22 años más. La aproximación mediante la serie exponencial nos dice que e-22λ = 0.5 donde λ es la tasa media de muertes por año. En este ejemplo λ = 0,031. Si utilizamos λ como parámetro para nuestros cálculos habremos resuelto de un plumazo la complicación que nos traía la integral sin haber inducido demasiado ruido en el problema porque no hay tanta diferencia entre el ajuste de la cuártica y el de la exponencial.
Finalmente, modificaremos el retorno p y la volatilidad de este retorno v teniendo en cuenta la inflación. El retorno podemos ajustarlo mediante una simple resta, mientras que la volatilidad no requerirá apenas modificación, será prácticamente la misma con o sin inflación. De este modo llegamos a los parámetros modificados para la cartera de inversión, que llamaremos respectivamente μ al del rendimiento y σ al que representa la volatilidad. Verán cómo en la práctica no tendremos ningún problema con ellos.
Tenemos pues el problema reducido a un análisis con cuatro parámetros:

* El porcentaje sobre el capital que se gastará anualmente: S
* La tasa de mortalidad anual para este inversor: λ
* El retorno de la inversión deflactado: μ
* La volatilidad del retorno anterior: σ

Aclarando el problema y robando un poco
Ahora que ya hemos entrado en materia, podemos definir el problema de un modo más preciso. La cuestión se reduce a saber si en cada momento considerado, es decir cada año en el que el jubilado permanezca con vida, el Valor Actual de todos los gastos futuros es menor que el Capital Disponible en ese momento. Si es menor o igual, el jubilado puede seguir, si es mayor, el experimento no es sostenible y acaba.
Este cálculo va a depender -como intuitivamente ya vemos-, de la distribución de estos flujos, y va a ser el valor acumulado de esta distribución el que mida dicha probabilidad. Esta distribución va a depender en su aspecto general de cómo sea la distribución de la vida restante del individuo -modificada por sus parámetros naturalmente-, y así a primera intención, podríamos suponer que es una distribución normal -una de Gauss- y podríamos ver también que no funciona. Entonces nos liaríamos buscando otra por lo que hemos optado una solución más rápida: robarla.
Las Compañías de Seguros tienen más que estudiado el asunto de la vida como es lógico, y han llegado a la conclusión empírica y muy cierta, de que la distribución se aproxima más a una distribución Gamma, que casi diríamos que se inventó para resolver este problema.
Así pues se lo robamos directamente y reducimos nuestro problema al cálculo de la acumulada de una distribución Gamma.
En lugar de calcularlo a mano, como tenemos a santa Excel lo resolveremos directamente. Sólo hace falta calcular los inputs adecuados en la fórmula de Excel GAMMADIST.
Cálculo de la distribución gamma acumulada (y seguimos robando otro poco)
Para el valor de X a imputar en la fórmula Excel GAMMADIST, es decir para imputar el valor del eje de abscisas podríamos utilizar directamente S, pero es mejor normalizar la distribución, en cuyo caso el parámetro X a imputar será:
X =
2S
______________________________
σ2 + λ
No es difícil de deducir, porque el denominador es directamente proporcional a la varianza de la distribución.
El parámetros α en Excel es el equivalente a la media en la distribución normal y responde a la siguiente formulación:
α =
2(μ + 2λ)
______________________________
σ2 + λ
En lugar de deducirlo y correr el riesgo de equivocarme quedando fatal con todos ustedes, también se lo he robado a las compañías de seguros. ¡Ah!, advierto que no me da ningún empacho decirlo, ya les pago bastante.
El parámetro que nos falta, β, es aún más fácil de calcular, como queremos una distribución Gamma normalizada ponemos simplemente β = 1.
Ahora hay que ir a Excel, meter los inputs anteriores y poner TRUE al final -porque queremos la distribución acumulada-. Ésta es la fórmula:
[1.1] GAMMADIST(X, α, 1; TRUE)
Ya podemos divertirnos
Aquí la diversión es muy grande, por eso sólo voy a poner dos o tres ejemplos, en la seguridad de que ustedes se lo van a pasar mucho mejor haciendo sus propios experimentos.

Por ejemplo para una persona de 65 años que le haya tocado un décimo del gordo y que invierta en alguna preferente a Euribor + 2,5% -que las hay-, vemos que, con un 95% de probabilidades de que le funcione, puede gastarse todos los años 15.800€. Con eso y un poco de ayuda de la jubilación a muchos les parecerá suficiente.


Resolviendo el problema general del millón de dólares -o de los 700.000€-, una persona con 50 años, que invierta en el Ibex 35, sin optimizar la inversión podrá gastar 14.685€ al año con el 95% de probabilidades de que le funcione. No es para vivir, pero con muy poca ayuda de fuera, podría funcionar. Mileuristas hay que lo hacen con menos.


Finalmente el mismo individuo, pero que esta vez invierte con mi sistema Aquiles. Este inteligente inversor se puede gastar más de 39,000€ al año y vivir como un marqués, y no es que Aquiles sea la panacea, porque sólo le saca un 3% al Ibex, pero disminuye mucho la volatilidad (perdonen la alusión, pero si no me hago un poco de publicidad me da algo).


Tenga presente que las cantidades que hemos obtenido consideran todas una inflación del 3% más o menos.
Hoja de cálculo y corolario
Aquí tienen ustedes la hoja de cálculo utilizada . Si es usted usuario de K. Bourbaki puede descargarse directamente los archivos desde aquí, pero recuerde que debe estar validado con su usuario y password en kbourbaki.com antes de proceder a la descarga o ésta no funcionará. Si no es usted usuario de K. Bourbaki, debe darse de alta previamente y seguir luego el procedimiento anterior.
El corolario es sencillo: si me hubiera tocado el gordo no estaba escribiendo ésto, ¿o si?, lo cierto es que me divierto una barbaridad. ¡Feliz Año nuevo para todos!